المربع

المربع :

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

 هو متوازي أضلاع احدى زواياه قائمة وفيه ضلعان متجاوران متطابقان وهو حالة خاصة من المستطيل والمعين

فالمربع هو مستطيل فيه ضلعان متجاوران متطابقان وهو معين احدى زواياه قائمة

خواصه : 

- زوايا المربع الأربعة قوائم

- قطرا المربع متعامدان

- قطرا المربع متطابقان

- قطرا المربع متناصفان

- قطرا المربع ينصفان زواياه

- أضلاع المربع الأربعة متطابقة

- محيطه = طول الضلع × 4 أو محيط المربع= مجموع أطوال أضلاعه

- مساحته = طول الضلع × نفسه أو 1/2 × ر2 حيث ر= طول القطر

المستطيل

المستطيل :

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

 هو متوازي أضلاع احدى زواياه قائمة

خواصه :

- زوايا المستطيل الأربعة قوائم

- قطرا المستطيل متطابقان

- قطرا المستطيل متناصفان

- مساحته = الطول × العرض

- محيطه = 2 × (الطول + العرض)

أو مجموع أطوال أضلاعه

المعين

المعين :
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

هو متوازي أضلاع فيه ضلعان متجاوران متساويان في الطول

خواصه: 

- قطرا المعين متعامدان

- كل زاويتين متقابلتين متطابقتين

- كل زاويتين متتاليتين مجموع قياسيهما180 ْْ

- القطران ينصف كل منهما الأخر

- القطران ينصفان زوايا الرأس

- أطوال أضلاعه الأربعة متساوية

- مساحة المعين = طول القاعدة × الارتفاع أو 1/2 × حاصل ضرب طولا قطريه (طول القطر الأول × طول القطر الثاني )

- محيط المعين= 4 × طول الضلع أو مجموع أطوال أضلاعه

متوازي الاضلاع

متوازي الأضلاع

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

 هو : شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين

خواصه:  - كل ضلعين متقابلين متطابقين

- كل زاويتين متقابلتين متطابقتين

- كل زاويتين متتاليتين مجموع قياسيهما 180 ْ

- القطران ينصف كل منهما الأخر

- مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة × الارتفاع

- محيط متوازي الأضلاع = مجموع أطوال أضلاعه او ضعف مجموع طولي ضلعين متجاورين فيه

المثلث

المثـــلث : 

هو أحد الأشكال الأساسية في الهندسة، وهو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة أضلاع، وتلك الأضلاع هي قطع مستقيمة. ومجموع طولي أي ضلعين في مثلث أكبر من طول الضلع الثالث (شرط وجود المثلث). والمثلث الذي رؤوسه هي A و B و C يرمز له بالرمز 

انواع المثلث :

حسب أطوال الأضلاع :

من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:

• مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية، وتكون جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
• مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين، هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتين أيضا.
• مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة، زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.

متساوي الأضلاع	متساوي الساقين	مختلف الأضلاع

حسب زواياه الداخلية 

يمكن أيضا تصنيف المثلثات تبعا لقياس الزوايا الداخلية في المثلث:

• مثلث قائم الزاوية: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
• مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة (زاوية منفرجة).
• مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).

قائم	منفرج	حاد

حقائق عن المثلثات :

مجموع زوايا المثلث 

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث 180 درجة (الزوايا التي لها نفس اللون متساوية).

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.

ويمكن إثبات ذلك عن طريق الزاوية المستقيمة، كما هو مبين بالشكل المجاور.

الزاوية الخارجية للمثلث 

الزاوية الخارجية للمثلث

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين غير المجاورة لها.

في الشكل المجاور يكون قياس الزاوية (ACD) يساوي مجموع قياسي الزاويتين (ABC) و (BAC).

مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث هو 360 درجة.

تطابق مثلثين 

يقال عن مثلثين أنهما متطابقان إذا توافرت أحد الشروط التالي:

1. إذا تساوت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما(ضلع، ضلع، ضلع).
2. إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشترك بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني (زاوية، ضلع، زاوية).
3. إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتساوت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني (ضلع، زاوية، ضلع).

نتائج التطابق 

-مساحتي المثلثين المتطابقين متساويتين.

-محيطي المثلثين المتطابقين متساويين.

تشابه مثلثين 

يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. ويرمز للتشابه بالرمز (~)

حالات التشابه

1. يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما(ضلع، ضلع، ضلع).
2. يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني (زاويا).
3. يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية (ضلع، زاوية، ضلع).

نتائج التشابه

-النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

-النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

مبرهنة فيثاغورس

واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي مبرهنة فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (c) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (a, b)، أي:

مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضرب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام "الزاوية المحصورة بينهما"

و هو صحيح لكل المثلثات حتى لو لم تكن الزاوية ( ) قائمة.